In dem Beitrag stellen wir die Herleitung der “Conditioned Navier-Stokes” Gleichungen für die laminare, beruhigte und turbulente Zonen in transitionalen Grenzschichtströmungen vor. Gemäß der Theorie der Turbulenzflecken von Emmons (1951) hängt die Intermittenz-Verteilung, die den laminar-turbulenten Übergang in Grenzschichtströmungen beschreibt, von der Entstehung von Turbulenzflecken und deren Kinematik während der stromabwärts gerichteten Konvektion ab.
Während die Annahme eines konzentrierten Fleckenzerfalls zur Modellierung des natürlichen Übergangs ausreichen kann, hat das ITFD gezeigt, dass bei hoher Turbulenz in der Anströmung – also bei Bypass-Transition – die Entstehung erster Flecken (i-Spots) räumlich verteilt erfolgt. Besonders in Strömungen mit negativen Druckgradienten zeigte die Auswertung von Heißfilm-Messungen, dass sich die i-Spot-Entstehung über eine beträchtliche Strecke erstreckt. Zudem unterstützen die Ergebnisse die Annahme, dass die Fleckenbildung in den laminar beruhigten Nachläufen von Turbulenzflecken unterdrückt wird – ein Effekt, der bereits von Schubauer und Klebanoff (1956) als „Calming-Effekt“ beschrieben wurde.
Vor diesem Hintergrund haben nur Transitionsmodelle, die sowohl die verteilte i-Spot-Erzeugung als auch den beruhigenden Einfluss der laminar-strömenden Nachlaufregionen berücksichtigen, das Potenzial, die Bypass-Transition vorherzusagen. Die Theorie von Emmons liefert hierfür eine geeignete Grundlage, um Intermittenz-Verteilungen in turbulenten und laminar (nicht) beruhigten Bereichen physikalisch konsistent zu modellieren. Bislang existiert jedoch kein Modell, das die i-Spot-Produktionsrate unter unterschiedlichen Strömungsbedingungen angemessen beschreibt. Hauptgrund dafür ist, dass in den klassischen Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANS) nicht zwischen laminarer und turbulenter Strömung – insbesondere zwischen laminar beruhigten und nicht-beruhigten Regionen – unterschieden wird.
Ausgehend von der Arbeit von Steelant und Dick (1996) wird hier ein bedingt gemittelter Ansatz vorgestellt, bei dem drei Strömungszustände unterschieden werden: turbulent, laminar beruhigt und laminar nicht beruhigt. Für jeden Zustand wird eine Indikatorfunktion definiert, die mit den Massen- und Impulserhaltungsgleichungen multipliziert und anschließend zeitlich gemittelt wird. Daraus ergibt sich ein System dreier miteinander gekoppelter, bedingt gemittelter Navier–Stokes-Gleichungen (CANSE), das zusätzliche Terme für den Massen- und Impulsaustausch zwischen den Regionen enthält.
Die physikalische Analyse dieser Austauschterme zeigt, dass der Massenaustausch zwischen den Regionen proportional zu drei Parametern ist: der Passierfrequenz der Zonengrenzen, dem Geschwindigkeitsunterschied auf beiden Seiten der Grenze sowie umgekehrt proportional zur Interface-Geschwindigkeit, da schnellere Grenzflächen kürzer in einem gegebenen Fluidelement verweilen. Der Impulsaustausch ist proportional zum Massenaustausch und zu einer mittleren Transportgeschwindigkeit über die Grenzfläche.
Mittels Heißfilm-Messungen, die die Fleckenpassagefrequenzen erfassen, lassen sich diese Austauschgrößen experimentell bestimmen. Die parabolischen, bedingt gemittelten Grenzschichtgleichungen werden in Stromrichtung schrittweise mit einem Finite-Differenzen-Verfahren gelöst. An jeder neuen Stromabwärtsposition erfolgt eine iterative Lösung der Massen- und Impulserhaltung, wodurch sich eindeutige Geschwindigkeitsprofile für die drei Strömungszustände ergeben. Die klassische RANS-Lösung ergibt sich anschließend als gewichtete Summe dieser Profile basierend auf den jeweiligen Intermittenz-Faktoren.
Weitere Modellentwicklungen und eine Validierung durch detaillierte Heißdrahtmessungen der bedingt gemittelten Geschwindigkeitsprofile sollen den Ansatz als Grundlage für ein neues, physikalisch fundiertes Transitionsmodell etablieren. Damit wird der Weg frei für zukünftige Untersuchungen, die die verteilte i-Spot-Erzeugung mit Anströmturbulenz und laminarer Strömungscharakteristik in Zusammenhang bringen.